문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수의 덧셈정리 (문단 편집) === [[단위원]]을 이용한 증명 === [[파일:namu_삼각_덧셈정리_1.svg|align=center&width=180]] 위 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점인 [[단위원]]을 그리고, [math(x)]축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]([math(\alpha \geq \beta \geq 0)])인 두 반지름 [math(\overline{\rm{OA}})], [math(\overline{\rm{OB}})]를 고려하자. 세 점 [math(\rm O)], [math(\rm A)], [math(\rm B)]는 삼각형 [math(\rm OAB)]를 형성하며, [math({\rm A}(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}))], [math({\rm B}(\cos{\beta},\,\sin{\beta}))]이다. [math(\angle \rm AOB=\alpha-\beta)]([math(\alpha-\beta \geq 0)])에 대하여 [[코사인 법칙]]을 적용하면, ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&={\overline{\rm{OA}} }^{2}+{\overline{\rm{OB}} }^{2}-2{\overline{\rm{OA}} } \cdot {\overline{\rm{OB}} } \cos{(\angle \rm AOB)}\\ &=1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cos{(\alpha-\beta)} \\&= 2-2\cos{(\alpha-\beta)} \end{aligned} )] || 한편, 좌표 사이의 거리 공식에 의하여 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&=\left[\sqrt{(\cos{\alpha}-\cos{\beta})^{2}+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^{2}} \right]^{2} \\&=(\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha})+(\sin^{2}{\beta}+\cos^{2}{\beta})-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}) \\&=1+1-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \\&=2-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \end{aligned} )] || 여기서 삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]을 사용하였다. 위와 아래의 결과를 비교함으로써 다음을 얻는다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] || [[파일:namu_삼각덧셈정리_4.svg|align=center&width=180]] 위 그림의 경우에는, 동일한 과정을 거쳐 다음을 얻는다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] || 한편, ||<:> [math(\displaystyle \cos{\left\{\frac{\pi}{2}-(\alpha \pm \beta) \right\} }=\sin{(\alpha \pm \beta)} )] || 임을 이용하면, ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \mp \beta \right)} \\&=\cos{\left\{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \mp \beta \right\}} \\&=\cos{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\cos{\beta} \pm \sin{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\sin{\beta} \\&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )] || 탄젠트에 대한 덧셈 정리는 쉽게 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\sin{(\alpha \pm \beta)}}{\cos{(\alpha \pm \beta)}}\\&=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} }\\&= \frac{\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} }}{\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} } \\&=\frac{\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \pm \dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}{1 \mp \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} } \\&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha} \tan{\beta}} \end{aligned} )] || 위의 과정에서는 [math(\alpha \geq \beta \geq 0)]과 [math(\alpha + \beta \geq 0)] 혹은 [math(\alpha - \beta \geq 0)]을 만족시킬 때만 증명했지만 실제로는 모든 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대하여 성립한다.(아래 문단 참조)저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기